FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

A.   EKSPONEN

     1.    Kurva Fungsi Eksponen

        2.    Sifat-sifat

 

 

      3.    Persamaan Eksponen

         

           Contoh :

           2^{x + 3} = 1/4^{2x – 3} ,tentukan nilai x.

          Jawab :

          2^{x + 3} = (2^-2)^{2x – 3}

                  = 2 ^{-4x + 6}

          x + 3 = -4x + 6

              7x = 3                                                  

                x = 3/7

           Contoh :

           3^{2x – 7} = 4^{2x – 7} ,tentukan nlai x.

           Jawab :

            2x – 7 = 0

                   x = 7/2 = 3 ½

            Contoh :

            3^{x – 2} = 2^{2x + 1} ,tentukan nilai x.

            Jawab :

             log 3^{x – 2} = log 2^{2x + 1}

        (x – 2) log 3 = (2x + 1) log 2

   x log 3 – 2 log 3 = 2x log 2 + log 2

 x log 3 – 2x log 2 = log 2 + 2 log 3

 x (log 3 – 2 log 2) = log 2 + log 9

 

 Ada beberapa kemungkinan :

      1)    g(x) = h(x)

      2)    f(x) = 1

      3)    f(x) = -1     dengan syarat : g(x) dan h(x) keduanya genap

                                   atau         : g(x) dan h(x) keduanya ganjil

      4)    f(x) = 0     dengan syarat : setelah ketemu nilai x dan di masukkan ke dalam persamaan di atas di dapatkan : g(x) > dan h(x) > 0

          Contoh :

          (2x – 3)^{x + 2} = (2x – 3)^{3x – 2} ,tentukan nilai x.

          Jawab :

          1.    x + 2 = 3x – 2

                 -2x = -4

                    x = 2

         2.    2x – 3 = 1

                   2x = 4

                     x = 2

         3.    2x – 3 = -1

                    2x = 2

                      x = 1  →  (-1)^{1 + 2} = (-1)^{3 – 2}

                                          (-1)³ = (-1)¹

                                              -1 = -1       (terpenuhi)

          4.    2x – 3 = 0

                     2x = 3

                      x = 3/2

                x + 2 = 3/2 + 2 = 3 ½ > 0          (terpenuhi)

              3x – 2 = 3(3/2) – 2 = 2 ½ > 0

              Jadi nilai x = 2 , 1 dan 1 ½

           Misal : p^f(x) = y

           Persamaan menjadi : ay² + by + c = 0

           Misalnya akar-akarnya y₁ dan y₂

          Contoh :

          Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 4^x – 10 . 2^x + 24 = 0.

          Penyelesaian :

          4^x – 20 . 2^x + 64 = 0

         2^2x – 20 . 2^x + 64 = 0

         Misal :

            y = 2x ,maka :

           y² – 20y + 64 = 0

        (y – 4) (y – 16) = 0

           y = 4 atau y = 16

         ●  jika y = 4 ,maka 2^x = 4

                                       x = 2

         ●  jika y = 16 ,maka 2x = 16

                                         x = 4

4.    Pertidaksamaan Eksponen

    Contoh :

    2^{x + 3} < (1/8)^{2x – 3} ,tentukan nila x.

    Jawab :

      2^{x + 3} < (2^-3)^{2x – 3}

      2^{x + 2} < 2^{-6x + 9}

      x + 2 < -6x + 9

          7x < 7 → x < 1

 

        Misal : p^f(x) = y

        →   ay2 + by + c < 0

                                  > 0

 

Y₁            y₂

   
Contoh :

Tentukan penyelesaian nilai x yang memenuhi pertidaksmaan 2^2x – 3 . 2^{x – 1} + 8 < 0

Penyelesaian :

    ● 2^2x – 3 . 2^{x – 1} + 8 < 0

       2^2x – 3 . 2^x . 2¹ + 8 < 0

      Misal : p = 2x ,maka :

      p² – 6p + 8 < 0

     (p – 2) (p – 4) < 0

 

      2 < p < 4

      2 < 2^x < 2²

      1 < x < 2

B.   LOGARITMA

    1.    Pendahuluan

    Bentuk umum fungsi logaritma adalah :

        y = ^alog x

        Dimana : a = bilangan pokok/basis

                      x = bilangan yang di logaritmakan/numerous

         Syarat : a > 0 , a ≠ 1 dan

                     x > 0

     2.    Kurva Fungsi Logaritma

 

      3.    Sifat-sifat

             Contoh :

             1)    Hitunglah nilai :

                  Jawab :

             2)    Jika log 2 = a dan log 3 = b ,nyatakan ⁶log 24 sebagai fungsi a dan b.

                  Jawab :

       4. Persamaan Logaritma

 

            Contoh :

                  ²log (x – 1) = ⁴log (3x – 3). Tentukan nilai x.

           Jawab :

                  ²log (x – 1) = ⁴log (3x – 3)

                  ⁴log (x – 1)² =⁴log (3x – 3)

               x² – 2x + 1 = 3x – 3

                x² - 5x + 4 = 0

                 (x – 1) (x – 4) = 0

                    x = 1 (tidak memenuhi) ,ingat syarat.

                    x = 4

  

                       Contoh :

                        (2x – 1) log (3x – 2) = (2x – 1) log (4x – 4)

                                             3x – 2 = 4x – 4

                                                   -x = 2

                                                    x = 2

                          

 

                  Contoh :

                  Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan ²log 2x – 3 ²log x + 2 = 0

                  Peyelesaian :

                  Misal : p = ²log f(x) ,maka persamaan di atas menjadi

                  p² – 3p + 2 = 0

                  (p – 1) (p – 2) = 0

                   p = 1 atau p = 2

                  ● jika p = 2 ,maka ²log x = 2

                                                    x = 4

                  ● jika p = 1 ,maka ²log x = 1

                                                    x = 2

      5. Pertidaksamaan Logaritma 

 

               Contoh :

                Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ^1/2log (3x – 2) > 2

              Penyelesaian :

                        ^1/2log (3x – 2) > 2

                        ^1/2log (3x – 2) > ^1/2log (1/2)²

                        ^1/2log (3x – 2) > ^1/2log ¼

                             3x – 2 < ¼

                                   3x < 2 ¼

                                   3x < 9/4

                                    x  < ¾ ..................................... (1)

                          ● syarat : 3x – 2 > 0 →  x > 2/3 .......... (2)

                          ● 1 ∩ 2

 

                     Contoh :

                                ²log2 (x – 3) – 12 . ²log (x – 3) + 32 < 0 ,tentukan nilai x.

                     Jawab :

                        Misal : ²log (x – 3) = y

                                 y² – 12y + 32 < 0

                                 (y – 4) (y – 8) < 0

                                 

                                  4 < y < 8

                                  4 < ²log (x – 3) < 8

                                  ²log 16 < ²log (x – 3) < ²log 256

                                 16 < x - 3 < 256

                                      19 < x < 256 ................... (1)

                               ● syarat : x – 3 > 0

                                              x > 3 .............. (2)

                               ● 1 ∩ 2 : 19 < x < 259